L'hydrodynamique est l'étude mathématique des forces, de l'énergie et de la pression des fluides en mouvement (écoulement) - Raccourcis des pages suivantes :

Variations transversales de pression	Écoulements sans pertes d'énergie Écoulements avec pertes d'énergie	Écoulement laminaire ou turbulent	Nombre de Reynolds (calcul et exploitation)
Couche limite	Pertes de charge (généralités)	Méthode de Colebrook (calcul des pertes de charge)	Pertes de charge singulières
Systèmes déprimogènes (calculs)	Débit : orifices, ajutages	Débit : déversoirs	Débit : canaux (écoulements)

DÉFINITIONS
Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.
Le débit d'une conduite est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement.

Débit-masse.
Si Dm est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le tempsDt, par définition le débit-masse est :

(unité : kg.s^-1)

Débit-volume.
Si DV est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le tempsDt, par définition le débit-volume est :

(unité : m³.s^-1)

Relation entre qm et qV :
La masse volumique r est donnée par la relation : r = Dm / DV, d'où : qm = rqV

Remarques :
Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements isovolumes.
Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolume.

Écoulements permanents ou stationnaires.
Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.
Conservation du débit.
Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps Dt, infiniment petit, la masse Dm1 de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse Dm2 ayant traversé la section S2 :qm1 = qm2

En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant.

Dans le cas d'un écoulement isovolume (r= Cte) :

En régime stationnaire, le débit-volume est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant.

Expression du débit en fonction de la vitesse (v).
Le débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à v, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S.
Il en résulte la relation :

-

1) Écoulements sans pertes d'énergie.
Lorsque les forces de cohésion et de gravité d'une particule liquide constituent les seules forces en jeu, le principe de la conservation de l'énergie conduit à dire que, le long de la trajectoire de cette même particule, on a :

• avec,z : altitude du centre de gravité d'une particule liquide (cote),
  
• p/rg : énergie des forces de cohésion (p == pression au sein de la particule, rg = poids volumique du liquide),
  
• v²/2g : énergie cinétique de la particule liquide, par unité de poids (v = vitesse locale et instantanée de la particule et g = champ de gravitation [accélération de la pesanteur]).

Cette formule porte le nom de Formule de Bernoulli (1738), rend donc compte des variations longitudinales de pression.

En effet, elle suppose que, de façon appréciable :

1. il n'existe pas de perte d'énergie par frottement,
2. il n'y ait aucune variations d'énergie par échange de travail avec l'extérieur,
3. il n'y ait pas de variations d'énergie à cause des forces d'inertie à l'intérieur du liquide, et que donc le mouvement soit indépendant du temps (mouvement permanent).

Elle n'est donc utilisables en principes que pour les "liquides parfaits" (liquides dont l'écoulement ne comporte pas de pertes ou de gains d'énergie appréciable)..

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Lorsque la force centrifuge d'une particule liquide en mouvement est équilibrée par l'énergie potentielle (hauteur piezométrique, ou hauteur mesurée à partir d'un plan de référence, de la colonne liquide statique qui s'établit dans un tube, installé en sol saturé, dont la partie inférieure est en communication avec un point sur le sol), le principe d'action et de réaction conduit à dire que, en tout point de la trajectoire du liquide, on a :

avec,

• v²/R = force centrifuge d'une particule liquide par unité de masse (v = vitesse locale et instantanée de la particule et R = rayon de courbure de la trajectoire,
• rg = masse volumique du liquide,
• dp_h/dn = dérivée normale (gradient transversal) de la pression "étoilée" p_h (dn = largeur de la particule dans le sens perpendiculaire à la trajectoire).

Rappel : la hauteur piezométrique est donnée par la relation [z + (p/rg)], et p_h = [rg(z + (p/rg))]
(la pression "étoilée").

A noter donc que :

1. les trajectoires des écoulements rectilignes ont une courbure nulle en tout point (filets parallèles),
2. la hauteur piezométrique est partout la même et les pressions varient de manière strictement hydrostatique (écoulement des conduites et des canaux).

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2) Écoulements avec pertes d'énergie.
Les forces de cohésion sont donc des forces perpendiculaires aux surfaces de séparation des parties liquides, et leur résultante est nulle dans les liquides au repos.
Mais dans les liquides en mouvement, les forces tangentielles existent : ce sont les forces de viscosité, qui donc développent un certain travail.
Ainsi on ne peut plus parler de conservation d'énergie le long d'un filet liquide : en fait il y a perte progressive d'énergie mécanique, et la formule de Bernoulli devient plus générale, soit :

avec,

• DH : perte d'énergie d'une particule (par unité de poids) entre deux extrémités de trajectoire,
• a : coefficient de répartition des vitesses.

A noter que :

1. il s'agit de valeurs dans l'ensemble d'un écoulement permanent et rectiligne, à filets parallèles,
2. les valeurs de z, p, v et DH, sont des valeurs moyennes dans chaque tranches liquides de l'écoulement...........................................

Nota : la courbe obtenue par le calcul de [z + (p/rg) + (v²/2g)] pour chaque point est la ligne de charge d'un filet liquide; et la pente représente la perte d'énergie ou perte de charge par unité de longueur (et par unité de poids) le long de la projection horizontale du mouvement.

Exemple (mouvement du point A au point B) :

Notes sur la Loi de Darcy.
La loi de la vitesse d'écoulement de l'eau dans un corps poreux, a été formulée par Henri Darcy (1803-1858), ingénieur au Service des eaux de Dijon, en 1856 (lien), à la suite de travaux approfondis sur l'écoulement de l'eau dans une couche filtrante de sable. La loi de Darcy, et donc la perméabilité, est définie pour des conditions d’écoulement laminaire dans un milieu homogène, isotrope et continu ; le fluide n’interagissant pas avec le milieu.
Cette loi se traduit par les formules :

Q = k.S(H+e)/e ou > > Q =(k.S.(DH/L))/h

avec :

• Q : volume d'eau écoulée par unité de temps (débit en m³/s),
• k est le «coefficient de proportionnalité» : la perméabilité (en m/s),
• S : surface de la couche filtrante (m²),
• H : hauteur de la colonne d'eau au-dessus de la couche filtrante (m),
• e : épaisseur de couche filtrante (m),
• h : viscosité dynamique de l'eau (Pa/s),
• DP/Dx, le gradient de pression sur la longueur ou gradient hydraulique (Pa/m) ou DH/L,
• L : longueur sur laquelle s’effectue l’écoulement.

Le gradient hydraulique, rapport de la hauteur de charge H, à la longueur L sur laquelle s’effectue l’écoulement définie donc la perte de charge par unité de longueur , DH = Q/k.S (en négligeant la viscosité dynamique).

La perméabilité k est donc :

Par ailleurs, lorsque les unités suivantes sont utilisées :

• Q en cm.s^-1,
• S en cm²,
• DP/Dx en atm.cm^-1,
• h en poises.

la perméabilité k s’exprime alors également en Darcy, ainsi 1 Darcy = 0,97.10^-12 m².
Nota : le Darcy est surtout utilisé par les hydrogéologues et par les pétroliers.

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3)Écoulement laminaire ou turbulent.
Lorsqu'un liquide s'écoule dans un tube rectiligne, l'écoulement peut présenter 2 aspects :

• un régime laminaire (écoulement avec une trajectoire stable - filets lisses- et présentant des variations de vitesses continues le long de cette trajectoire),
• un régime turbulent (écoulement avec une trajectoire instable - filets tourbillonnants- et présentant des variations de vitesses désordonnées le long de cette trajectoire)

Dans la pratique, on ne rencontre presque exclusivement que le régime turbulent.
Le régime laminaire se rencontre dans certains cas particuliers :

• liquides très visqueux,
• très faibles vitesses,
• tubes capillaires.

Nombre de Reynolds (rapport de la force d\'inertie sur la force de viscosité) , sa valeur du indique le type de régime prédominant.
O. Reynolds, ingénieur anglais, spécialiste de l'hydrodynamique (lien) a introduit ce nombre qui porte son nom et qui est constamment utilisé dans les calculs.
Il est fonction de trois paramètres (écoulement par tranche dans les conduites ou les canaux) :

1. le diamètre d'une conduite ou hauteur de l'eau dans un canal,
2. la vitesse moyenne de l'eau,
3. la viscosité de l'eau......................

Un nombre de Reynolds peu élevé indique que les forces de viscosité prédominent. Un nombre de Reynolds élevé indique que les forces d'inertie dominent le mouvement.
Formulation du Nombre de Reynolds :
(conduites ou les canaux)

avec,

• r : masse volumique, en kg/m3
• Vmoy : vitesse moyenne de l'eau, en m/s
• D : diamètre interne de la conduite ou hauteur d'eau dans le canal, en m
• h : viscosité dynamique (lien interne), en Pascal-seconde (Pa.s) ou Poiseuille (Pl) - (1 Pa.s =1 Pl)
  >autres [CGS] : Poise (Po) ou centipoise (cPo) : 1 Pl = 10 Po = 1000 cPo
• n : viscosité cinématique (lien interne), en m²/s - (rappel : n = h / r)
  >autres [CGS] : Stoke (St) ou centiStokes (cSt) : 1 m²/s = 10⁴ St = 10⁶ cSt

NOTA : pour les conduites, si v inconnue, mais Q (débit) connu, on a :

avec,

• v : vitesse moyenne de l'eau, en m/s
• Q : débit, en m³/s
• D : diamètre interne de la conduite, en m

 ou, si Q en m³/h et D en mm :

Exploitation du nombre de Reynolds .
Si dans une conduite,

• Re £ 2000 : le régime d'écoulement est laminaire,
• 2000 < Re £ 3000 : le régime d'écoulement est transitoire,
• Re ³ 3000 : le régime d'écoulement est turbulent.

Si dans un canal (écoulement par tranches) Re > 500, on est en régime turbulent, et donc pour Re £ 500 en régime laminaire.
A noter que l'eau est un des fluides qui présente une des plus faible viscosité cinématique :

Rappel : 1 cSt (unité CGS) = 10^-6 m²/s (unité SI)

Couche limite.
Les liquides ne glissent pas sur les solides mais adhèrent toujours parfaitement aux parois, du moins les liquides usuels à la température ordinaire, donc l'eau.
L'écoulement d'un liquide comporte donc une couche limite dans laquelle les vitesses passent d'une valeur nulle, contre les parois, à des valeurs du même ordre que la vitesse moyenne, plus loin des parois (Prandtl, 1904).
Cette couche est d'autant plus mince que la viscosité cinématique est plus faible et que la vitesse d'écoulement est plus grande. Son épaisseur est de l'ordre de quelques fractions de millimètres à quelques millimètres dans l'eau.

On distingue au sein de la " couche limite " :

• la "couche limite laminaire" qui longe les parois et dans laquelle l'écoulement est suffisamment lent pour rester laminaire,
• la "couche limite turbulente" qui ne longe pas tout à fait les parois et dans laquelle l'écoulement n'est plus tout à fait laminaire (la couche limite laminaire porte alors le nom de "sous-couche").

La propriété principale de la couche limite est qu'elle est le siège de la plupart des pertes d'énergie puisque c'est là que les "gradients de vitesses", qui commandent les forces de viscosité, sont les plus forts.

La couche limite n'apparaît jamais d'une façon instantanée, et son épaisseur doit augmenter probablement comme la racine carrée du temps dans les premiers instants de l'écoulement.
La couche limite n'atteint donc son épaisseur définitive que sur des distances assez grandes par rapport aux extrémités : plusieurs dizaines à plusieurs centaines de fois le diamètre :

1. dans l'écoulement "par tranches" (conduite circulaire), en fonction de la vitesse et de la distance des entrées. La répartition des vitesse peut être représentée ainsi :
   
   
   
   
2. les vitesses sont plus faibles et leurs répartitions moins inégales dans l'écoulement turbulent que dans l'écoulement laminaire.
   
   
3. dans l'écoulement des canaux (dont la largeur ne dépasse pas 5 fois la hauteur liquide), le maximum de vitesse se trouve un peu en dessous de la surface, et les courbes d'égales vitesses ressemblent à des ovales à peu près centrés sur ce point.

Pertes de charges (tuyaux).
Il a été vu que dans un filet liquide, il y a en fait une perte progressive d'énergie mécanique (à cause des frottements) entre deux extrémités de la trajectoire (DH ).
Ainsi, la différence H1 - H2 dans le schéma suivant sera appelée perte de charge entre les points A1 et A2 :

La mesure de la pression manométrique au niveau des points montre que celle-ci diminue d'amont en aval, du fait de l'énergie dissipée par frottement (P2<P1).

La différence P1-P2 est proportionnelle à la perte de charge (H1-H2), car H et P sont liés par la relation H = 10000P /r, avec :

• H : hauteur, en m
• P : pression, en kg/cm²
• r : masse volumique, en kg/m3

A noter que, l’équation de Bernoulli (entre 2 points p1,p2) s’écrit alors :

En généralité , la perte de charge (conduite de section constante et circulaire) est :

• proportionnelle à la vitesse, la longueur, la masse volumique et la viscosité
• inversement proportionnelle au diamètre (et la gravité)

Les pertes de charge régulières représentent les pertes d’énergie dues aux frottements visqueux du fluide le long d'un tube (se rencontre dans les tuyaux lisses aussi bien que dans les tuyaux rugueux).

Formulation : entre deux points séparés par une longueur L, dans un tuyau de diamètre D apparaît une perte de pression Dp ou Dh, exprimée sous la forme suivante :

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l est un coefficient sans dimension appelé coefficient de perte de charge linéaire.

Le calcul des pertes de charge repose entièrement sur la détermination de ce coefficient.


Nota : ces pertes de charges sont également appelées pertes de charge "linéaires".

En régime d'écoulement laminaire (Re < 2000) :
Dans ce cas le coefficient l est uniquement fonction du nombre de Reynolds Re, l'état de la surface n'intervient pas et donc l ne dépend pas de la rugosité k (hauteur moyenne des aspérités du tuyau), ni de la nature de la tuyauterie :

(rappel : Re =Vmoy D / n)
Il est alors évident de voir que Dh est proportionnel :

• à la vitesse moyenne v, au débit Q
• la longueur
• inversement proportionnelle au diamètre (et la gravité)
• à la viscosité cinématique n .

Loi de Poiseuille (JLM. Poiseuille/1797-1869, lien)
Pour un écoulement laminaire, dans une conduite cylindrique horizontale,

le débit-volume d'un fluide est donné par avec :

• q_v : débit-volume (en m3·s^–1)
• r : rayon intérieur (en m)
• h : viscosité dynamique du fluide (en Pa·s)
• L : longueur entre les points (1) et (2) (en m)
• p1 et p2 : pression du fluide aux points (1) et (2) (en Pa)
  

En régime turbulent (Re>3000) :
La perte de charge (conduite de section constante et circulaire ou canal) est :

• proportionnelle au débit (ou à la vitesse),
• inversement proportionnelle au diamètre,
• dépendante de la rugosité (caractère de ce qui est rugueux : qui présente des aspérités à sa surface) du tube,
• fonction du Nombre de Reynolds.

Les phénomènes d'écoulement sont beaucoup plus complexes et la détermination du coefficient de perte de charge résulte de mesures expérimentales. En régime turbulent l'état de la surface devient sensible et son influence est d'autant plus grande que le nombre de Reynolds Re est grand. Tous les travaux ont montré l'influence de la rugosité et on s'est attaché par la suite à chercher la variation du coefficient l en fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosité k du tuyau.
C'est ce qui explique la diversité des formules qui ont été proposées pour sa détermination (Colebrook, Hazen-Williams, Darcy-Weisbach)
La formule de Colebrook est actuellement considérée comme celle qui traduit le mieux les phénomènes d'écoulement en régime turbulent.

Soit,
Méthode de Colebrook.
Résultant des expériences de Nikuradzé (1933), la formule de Colebrook est sans doute la plus connue et utilisé en France, soit :

• J : perte de charge, en m de colonne d'eau par m de tube
• l : coefficient de perte de charge (voir plus loin)
• D : diamètre du tube ou diamètre hydraulique Dh (pour conduite non cylindrique), en m
  (Dh = 4 S / pm, soit le rapport de la section liquide [S] sur le périmètre mouillé [pm])
• V : vitesse d'écoulement, en m/s
• g : accélération de la pesanteur, en m/s²
• k : coefficient de rugosité
  

L'utilisation directe de cette formule demande, du fait de sa forme implicite, un calcul par approximations successives ; on emploie aussi en pratique des représentations graphiques (abaques).
Et donc pour simplifier la relation précédente, on peut chercher à savoir si l'écoulement est hydrauliquement lisse ou rugueux pour évaluer la prédominance des deux termes entre parenthèses dans la relation de Colebrook.

Remarque.
Il est fait appel à des formules empiriques plus simples valables pour des cas particuliers et dans un certain domaine du nombre de Reynolds, par exemple :

Formule de Blasius (pour des tuyaux lisses et Re < 10⁵) > l = 0,316 Re^-0,25

Formule de Lechapt et Calmon (pour 1 m) > DH = 1,1.10^-3 Q^1,89 D^-5
avec, DH = pertes de charge en , Q = débit en m3/s et D = diamètre en m.
Nota - puissance pour vaincre les pertes : Pu (en W) = 9810Q.DH.h^-1
avec h: rendement du groupe motopompe.

Exemple de coefficients de rugosité (canalisation).
(donné sous toutes réserves car il y a des incertitudes)
Canalisations non corrodables et sans dépôts possibles :

Nature du matériau	k (mm)	Nature	k (mm)
Acier neuf revêtement plastique et lisse non poreux	0,05 0,03 0,03	Béton neuf (centrifugé) moules lisses moules grossiers	0,04 0,4 2,0
Fonte neuve revêtement bitume revêtement ciment	0,5 0,12 0,07	Fibrociment neuf	0,06
Aluminium neuf	0,02	Grès vernissé	0,08
Cuivre et Plomb neuf	0, 01	Plastique	0,002
Laiton	0,003	Bois	0,3

Canalisations corrodables et/ou dépôts possibles :

Contenant	k (mm)
Eaux filtrées, pratiquement à l'équilibre	0,50
Eaux brutes peu chargées, non chlorées	1,00
Eaux chargées ou corrosives, ou agressives (ou incrustantes)	2,00

A voir : programme PDCL (lien interne) qui calcule les Pertes de Charge Linéaires.
(canalisations circulaires et rectilignes)

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Sources de certaines pages : J. CARBONNET - M. ROQUES
Autres sources : Mémento Technique de l'Eau / DEGRÉMONT - SUEZ (8e, 1978) et lien (Lavoisier)

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Fin du chapitre Hydrodynamique 1