L'hydrostatique ou
statique des fluides, est la science de
l'équilibre des liquides au repos.
Raccourcis des chapîtres qui suivent
:
L'énergie des "forces de gravité" par
unité de poids d'une particule liquide dans un liquide au
repos, est égale à l'altitude h du centre de
gravité de la particule, puisque le travail pour
l'élever à la cote h est égal à 1 x h =
h.
Or, il résulte du principe de la conservation de
l'énergie (Premier principe de la
thermodynamique) que l'énergie totale des "forces de
cohésion*" par
unité de poids ( soit P/Mv ), et des "forces de
gravité" doit être constante dans ce liquide au
repos.
*la résultante des
forces de cohésion par unité de surface est la pression
du liquide au point considéré.
On aura donc :
et ce, dans toute l'étendue liquide au repos, et la
pression - que l'on appele alors pression hydrostatique - est
égale à -Mvh (à une
constante près, en tout point, voir la loi
de Pascal). La quantité
h + P/Mv est la hauteur piezométrique, la
pression "étoilée" étant : Px
= Mv(h +
(P/Mvg) = P + Mvh
Les phénomènes hydrostatiques peuvent être donc
compris à partir de deux lois :
avec,
NB .
- le produit Mvg est le poids volumique du liquide.
- La pression effective en un point du liquide est la pression due au
liquide seulement, en ne tenant pas compte de la pression
atmosphérique Pa, sinon P = Mvhg
+ Pa
Par ailleurs, la pression au fond d'un
récipient ne dépend pas de la forme de celui-ci,
elle ne dépend que de la hauteur du
liquide et de sa nature (paradoxe
hydrostatique).
Rappelons que la pression est égale à la force F
en Newton (N) sur la surface
(S) en m².
Rappel - unité légale de pression : le N/m²
ou pascal (Pa), en unités SI :
m-1·kg·s-2.
( 1 Pa = 10-5 bar ou 1,0197.10-4
m de CE [colonne d'eau] ).
Principe
d'Archimède (287-212 av.JC)
:
« Tout corps plongé dans un
fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou
traversant sa surface libre, subit une force verticale,
dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de
fluide déplacé ; cette force est appelée
poussée d'Archimède. »
ou :
Tout corps solide plus léger que
tel liquide s'enfoncera, une fois plongé dans ce liquide,
jusqu'au point où le volume de liquide correspondant au volume
de la partie immergée du solide aura un poids égal
à celui du corps tout entier.
Tout corps plongé dans un liquide
reçoit une poussée, qui s'exerce de bas en haut, et qui
est égale au poids du volume de liquide
déplacé.
Remarque : attention aux pièges classiques, la
loi d'Archimède n'est en effet, applicable que pour la
partie du corps entièrement immergé dans un fluide
en équilibre hydrostatique.
Humour :
" Quand on plonge un corps dans une baignoire, le
téléphone sonne. " Loi dArchimède
modifée par Pierre Desproges.
Explications du Principe d'Archimède :
Dans un cylindre en position verticale immergé dans un fluide
de masse volumique Mv (voir
image),
La pression hydrostatique étant plus forte sur la partie
inférieure immergé (S'h) que sur sa partie
supérieure (Sh'), il en résulte une poussée
PA globalement verticale orientée vers le haut
(la pression atmosphérique étant par
ailleurs négligée).
La difference de pression DP n'est autre
que le produit de la différence de niveau des
extrémités par le poids volumique du fluide :
la résultante verticale des pressions du fluide aux extrémités du cylindre, est donc égale au produit de la section horizontale du cylindre S, par la différence de pression hydrostatique aux extrémités :
Le produit du volume du cylindre (égal à S (h'-h),
par le poids volumique du fluide n'est autre que le poids du
fluide que le cylindre contiendrait.
Donc, la résultante verticale des pressions aux
extrémités (poussée qui
s'exercera de bas en haut, donc verticale), sera bien
égale au poids du volume V du fluide
déplacé. Et comme on peut décomposer
n'importe quel solide en une infinité de petits cylindres
jointifs...> Tout corps immergé au
repos, subit de la part d'un liquide, une poussée
verticale égale au poids du liquide
déplacé.
avec, Mf (ou Mv.V) qui est la masse du fluide contenu dans le volume V déplacé, et g la valeur du champ de pesanteur.
Nota : pour que le principe s'applique il faut que le fluide
immergeant et le corps immergé soient au repos et dans un
champ de pesanteur uniforme.
La poussée d'Archimède PA s'exprimera en
newton (N) si la masse volumique Mv est en kg/m³, le
volume de fluide déplacé V en m³ et la valeur de
la pesanteur g en N/kg (ou m/s²).
Objet flottant : loi applicable à condition de
compter séparément la poussée due à l'eau
sur la partie immergée et celle, due à l'air, sur la
partie émergée.
Poids apparent.
On définit le poids apparent comme la différence :
Un objet de poids apparent
- positif : coule,
- négatif : remonte (et flottera),
- nul : se maintient entre deux eaux.
Tout l'art du lestage consiste à avoir un poids
apparent nul.
D'où le principe de flottabilité,
qui veut que :
- si un corps déplace un volume d'eau pesant plus que son propre poids, il flotte (flottabilité positive),
- s'il déplace un volume d'eau pesant moins que son poids propre, il coule (flottabilité négative),
- si ce corps déplace une quantité d'eau dont le poids est égal au sien propre, il ne flotte ni ne coule, mais demeure en suspension au sein du liquide (flottabilité nulle).
Le facteur qui détermine la flottabilité est la
densité.
Donc, quand la densité augmente, la masse et le poids
augmentent aussi et il ce produit une "force flottable" plus
élevée, ce qui explique que l'on flotte mieux dans
l'eau de mer (d=1,028 à 20°C, pour 35g/l
de minéralisation) que dans l'eau "douce"
(d ±1,000).
Si le corps est homogène son centre de gravité est
confondu avec le centre de poussée. S'il n'est pas
homogène le corps se positionne de telle façon que le
centre de poussée soit sur la même verticale que son
centre de gravité, et au-dessus pour que l'on ait un
équilibre stable.
Exemples (Poussée
d'Archimède) :
Exemple 1 - Corps immergés.
Sachant que le volume d'un corps humain adulte quelconque est
d'environ 0,080 m3
(80 dm3 ou litres), qu'elle est l'estimation
de la force qu'il subit de bas en haut
(poussée d'Archimède), s'il est
complètement immergé sous la surface de l'océan
atlantique, par exemple, ou dans l'eau d'une rivière, à
15°C (Mv de l'eau océanique :
1028 kg.m-3 et Mv
rivière : 999,2 kg.m-3) :
(on prend g = 9,81 m.s²)
Poussée = Poids du volume d'eau
déplacée
[Vd]
(volume de la partie
immergée), donc :
Poids du volume d'eau océanique déplacé
(Mveau .Vd. g) :
Poussée = (1028
x 0,080
x 9,81) =
806,77 N,
ou (806,77 x 0,10197) = 82,27 kgf
Poids du volume d'eau de rivière déplacé
(Mveau .Vd. g) :
Poussée = (999,2
x 0,080
x 9,81) =
784,17 N,
ou (784,17 x 0,10197) = 79,96 kgf
Nota : si le corps pèse 81 kg par exemple, on constate
que, sans bouger : il flottera sans problème dans
l'océan, mais risque de couler en rivière
(CQFD) !
Un plongeur équipé d'une combinaison se mettrait
à couler vers -12 m (env.1,2 bar) de
profondeur dans l'océan, car à cause de la compression
croissante (et particulièrement sur les bulles
contenues dans le néoprène de sa combinaison),
sa masse ne changera pas mais son volume global diminuera
(sa "densité" augmentera avec la profondeur
jusqu'à atteindre et dépasser celle du milieu
ambiant).
Remarque. Si l'on calcule la poussée dans l'air
(sur tout le corps humain de 0,080 m3), avec
Mvair = 1,220
kg.m-3 et g = 9,807 N/kg:
Poids du volume d'air déplacée
(Mvair .Vd. g) :
Poussée = (1,22
x 0,080
x 9,807) = 0,957
N,
ou (0,957 x 0,10197) = 0,09758 kgf (ou
97,58 gf) !
Exemple 2 - Corps Flottants.
Un iceberg d'eau douce, dont le volume V est de 500
m3 flotte à la surface de l'océan
(sur l'instant...),
- Quel est le volume immergé dans l'océan sachant que la masse volumique de la glace Mv est de 920 kg.m-3 , celle de l'eau océanique 1028 kg.m-3 (avec g = 9,81 m.s²),
- Idem dans une rivière à 10°C (Mv = 999,7 kg.m-3) ?
Rappel : masse = volume x masse volumique, et poids (en newton) = masse x g,
Résultats :
Quand un solide flotte c'est que (poussée
d'Archimède) :
poids du solide = poids du volume de la
partie immergée
(volume d'eau déplacée
Vd), donc :
Poids de l'iceberg (en N) :
(masse
x g) =
(MvV).g, soit (920
x 500 x 9,81) =
4 512 600 N,
(999,7
x Vd
x 9,81) = 4
512 600 N, et Vd = 4512600 /(999,7
x 9,81) =
460,14 m3.
Pourcentage de volume immergé dans la rivière
= 460,14
/500x100 =
92 % (donc, émergé : 8
%).
Remarque : le poids des navires (et donc leur
masse volumique) variant suivant qu'ils soient en charge ou
sur lest, la poussée d'Archimède va également
varier. Pour maintenir un certain niveau de flottaison
(tirant d'eau ou hauteur de la partie immergée
du bateau) constant et assurer une meilleure stabilité,
les navires sont pourvus de ballasts qu'ils peuvent remplir ou vider
suivant leur cargaison ou la salinité de l'eau dans laquelle
ils naviguent (passage de l'océan dans une rivière par
exemple).
Les sous-marins contrôlent également leur masse
volumique en utilisant également des ballasts.
Applications de la PA : la mesure de la masse
volumique des liquides avec un hydromètre
(ou densimètre), le ludion (voir
ce lien
externe).
Théorème de Pascal.
Toute variation de pression en un point d'un liquide
entraîne la même variation en tous ses points.
(ce théorème est valable pour les gaz). Le principe de
fonctionnement d'une presse hydraulique repose sur ce
théorème.
Soient par exemple, deux cylindres de sections différentes S
et S' formant des vases communicants :
Exerçons sur le petit piston P une force F perpendiculaire
à sa surface, cela crée une surpression qui vaut :
Dp = F / S
En vertu du théorème de Pascal, sur P' on a
doncla même variation de pression ce qui produit une
force F', et on peut donc écrire : Dp
= F / S = F' / S'.
On voit donc que si S' > S on a F' > F , mais le
déplacement de P' est plus petit que celui de P > si on
enfonce P de h, P' ne monte que de h' :
Rappelons l' unité de force (SI) : le newton
[N], en m . kg . s-2 (1 N = 0,101971 kgf
(kilogramme-force).
Presse à montants de 150 tonnes (estampage de
matériaux en petite profondeur)
Course du vérin : 400 mm, passage entre montants
:1120x920 mm, admission maximum : 600 mm,
Vitesse dapproche : 28 mm/sec, vitesse de travail : 8 mm/s,
force du presse-tôle : 50 tonnes.
(crédit image-lien web : REMO)
Exemple numérique : sachant que le rapport des forces
est de 1 pour 30, si le grand piston de surface S' se déplace
de 1 cm (h'), de combien (h) se déplace le petit piston
(surface S) ?
Réponse :
Selon le théorème de Pascal : toute variation de
pression en un point d'un liquide entraîne la même
variation en tous ses points.
Les deux volumes déplacés dans les deux
récipients sont égaux :
Si le rapport des forces F/F' = 100 > S/S' = h/h' =30, donc h = 30 h'
et comme h' = 1 cm, h = 30 cm.
Appliquons la loi de la statique des fluides aux points M et N :
Dans le tube, la pression atmosphérique P0 est
équilibrée et égale à la pression
hydrostatique
Mvhg.
Le mercure a une masse volumique Mv de = 13 599,63
kg.m-3 , et la pression atmosphérique est
équilibrée par une colonne de hauteur H
(par exemple, = 760 mm
), et g = 9,81 m.s².
La valeur de cette pression vaut donc (unités
SI) : P0 = (13 599,63 x 0,760x
9,81) = 101 393,4 Pa,
ou 1013,934 hPa (ou 1013,9 mb).
Nota : si le liquide était de l'eau
"douce" à 10°C (Mv =
999,7 kg.m-3), pour obtenir l'équilibre la
hauteur H devrait être de : 101 393,4 / (999,7
x 9,81) = 10,33 m.
Également,
A noter que si nous faisons le calcul avec de l'air
(Mv moyen = 1,217 kg.m-3 au
sol), nous trouvons une hauteur de 8 493 mètres
(environ 8,5 km), mais évidemment en
supposant donc une Mv constante sur toute la hauteur !
(ce qui n'est pas exact, car la densité de l'air diminue en
fonction de l'altitude).
ÉQUILIBRE DE DEUX LIQUIDES NON
MISCIBLES.
Deux liquides sont dans des vases communicants (tube en U
ci-dessous):
Les deux surfaces libres ne sont pas dans le même plan horizontal.
D'après le principe fondamental on a : hMvg =
h'Mv'g, et > hMv = h'Mv'
Exemple :
Un tube en U cylindrique de section S = 2
cm² , contient du mercure (brun),
Mv = 13 599.63 kg.m-3
Dans la branche A, on verse 60 ml
(cm3) d'eau "douce"
(Mv = 999.7 kg.m-3, à
10°C)
a) On calculera la différence des niveaux des surfaces
libres dans les deux branches ?
b) On veut ramener les niveaux M1 et N1 du mercure dans les deux
branches dans un même plan horizontal en versant dans la
branche B :.
On calculera les volumes d'eau de mer et d'alcool nécessaire pour obtenir ce résultat ?
Résultats :
D'après le principe général on a
hMv = h'Mv', donc, h' = hMv /
Mv'
a) Soit h = (60 /2) = 30 cm
(la hauteur d'eau) et, h' (hauteur du mercure)
= ((30 x 999,7) / 13 599.63) = 2,2 cm
La différence de niveau (h-h') est donc de =
(60-2,2) = 57,8 cm.
b)
Les points M1 et N1 seront donc au même niveau : au dessus
de M1, il y aura une hauteur h d'eau "douce" de 30 cm, et au-dessus
de N1 une hauteur h" d'eau de mer ou d'alcool. On aura :
1) h'' (hauteur d'eau de mer) : ((30 x
999,7) / 1028) = 29,17 cm
Volume d'eau de mer à rajouter : 29,17 x 2 = 58,34
ml.
2) h'' (hauteur d'alcool) : ((30 x 999,7)
/ 790) = 37,96 cm
Volume d'alcool à rajouter : 37,96 x 2 = 75,92 ml.
RÉSULTANTE DES FORCES DE
PRESSION SUR UNE PAROI PLANE.
Si la paroi est le fond horizontal du récipient, la pression
est uniforme et la résultante F de toutes les forces sera
égale à :
S étant la surface du fond et h la hauteur de liquide.
Le point d'application de cette force sera le centre de
gravité de la surface S.
En fait, la résultante des forces qui s'exercent sur une paroi
est égale au produit de la pression effective au centre de
gravité de cette paroi, par la surface de cette paroi.
Si maintenant c'est une paroi latérale, on aura encore, si
cette paroi est rectangulaire et de longueur L :
Le point d'application de cette résultante s'appelle le
centre de poussée, ce n'est pas le centre de
gravité G; la cote de ce centre de poussée se
trouve à : d = 2/3 H
H et d étant la hauteur d'eau et la profondeur où
se trouve le centre de poussée. Les deux résultats
donnant l'intensité de F et son point d'application sont
valables même si la paroi est inclinée,
Données :
Quelle est la force totale de poussée de l'eau sur
la paroi , et la cote de son centre de poussée ? :
Force F = MvgL(H²/2) :
(1000x9,81x207x[50²/2]) > F = 2,54.109 N
ou 2540 MPa (25400 bar).
Cote du centre de poussée d : (2/3)50 > 33
m....
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