et ce, dans toute l'étendue liquide au repos, et la pression - que l'on appele alors pression hydrostatique - est égale à -M_vh (à une constante près, en tout point, voir la loi de Pascal). La quantité h + P/M_v est la hauteur piezométrique, la pression "étoilée" étant : P_x = M_v(h + (P/M_vg) = P + M_vh

Les phénomènes hydrostatiques peuvent être donc compris à partir de deux lois :

1. la pression hydrostatique P, qui, en un point d'un liquide de masse volumique M_v est égale à : P = M_vgh

   avec,

   • P, pression en Pascal (Pa)
   • M_v , masse volumique en kg.m^-3
   • g , champ de gravitation uniforme (accélération de la pesanteur en m^-1.s^-2 )
   • h , profondeur du point (distance qui le sépare de la surface du liquide), en m

NB .

- le produit M_vg est le poids volumique du liquide.
- La pression effective en un point du liquide est la pression due au liquide seulement, en ne tenant pas compte de la pression atmosphérique P_a, sinon P = M_vhg + P_a

Par ailleurs, la pression au fond d'un récipient ne dépend pas de la forme de celui-ci, elle ne dépend que de la hauteur du liquide et de sa nature (paradoxe hydrostatique).
Rappelons que la pression est égale à la force F en Newton (N) sur la surface (S) en m².

Rappel - unité légale de pression : le N/m² ou pascal (Pa), en unités SI : m^-1·kg·s^-2.
( 1 Pa = 10^-5 bar ou 1,0197.10^-4 m de CE [colonne d'eau] ).

1. la loi de Pascal (théorème) qui énonce :
   Un corps, plongé dans un fluide, subit, en chacun de ses points, une force perpendiculaire à sa surface et proportionnelle à la pression en ce point.
   Cette loi fut énoncée par Blaise Pascal [1623-1662] en 1653 (lien externe).
   La pression étant proportionnelle à la profondeur, il s'ensuit qu'un corps immergé subira une force plus grande sur sa face inférieure que sur sa face supérieure, d'où résulte le principe d'Archimède
   (voir ci-dessous plus spécifiquement, ces deux principes).

-

 Principe d'Archimède (287-212 av.JC) :
« Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède. »
ou :
Tout corps solide plus léger que tel liquide s'enfoncera, une fois plongé dans ce liquide, jusqu'au point où le volume de liquide correspondant au volume de la partie immergée du solide aura un poids égal à celui du corps tout entier.

Tout corps plongé dans un liquide reçoit une poussée, qui s'exerce de bas en haut, et qui est égale au poids du volume de liquide déplacé.

Remarque : attention aux pièges classiques, la loi d'Archimède n'est en effet, applicable que pour la partie du corps entièrement immergé dans un fluide en équilibre hydrostatique.

Humour :
" Quand on plonge un corps dans une baignoire, le téléphone sonne. " Loi d’Archimède modifée par Pierre Desproges.

Explications du Principe d'Archimède :
Dans un cylindre en position verticale immergé dans un fluide de masse volumique M_v (voir image),

La pression hydrostatique étant plus forte sur la partie inférieure immergé (S'h) que sur sa partie supérieure (Sh'), il en résulte une poussée P_A globalement verticale orientée vers le haut (la pression atmosphérique étant par ailleurs négligée).

La difference de pression DP n'est autre que le produit de la différence de niveau des extrémités par le poids volumique du fluide :

la résultante verticale des pressions du fluide aux extrémités du cylindre, est donc égale au produit de la section horizontale du cylindre S, par la différence de pression hydrostatique aux extrémités :

Le produit du volume du cylindre (égal à S (h'-h), par le poids volumique du fluide n'est autre que le poids du fluide que le cylindre contiendrait.

Donc, la résultante verticale des pressions aux extrémités (poussée qui s'exercera de bas en haut, donc verticale), sera bien égale au poids du volume V du fluide déplacé. Et comme on peut décomposer n'importe quel solide en une infinité de petits cylindres jointifs...> Tout corps immergé au repos, subit de la part d'un liquide, une poussée verticale égale au poids du liquide déplacé.

avec, M_f (ou M_v.V) qui est la masse du fluide contenu dans le volume V déplacé, et g la valeur du champ de pesanteur.

Nota : pour que le principe s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos et dans un champ de pesanteur uniforme.
La poussée d'Archimède P_A s'exprimera en newton (N) si la masse volumique M_v est en kg/m³, le volume de fluide déplacé V en m³ et la valeur de la pesanteur g en N/kg (ou m/s²).



Objet flottant : loi applicable à condition de compter séparément la poussée due à l'eau sur la partie immergée et celle, due à l'air, sur la partie émergée.

Poids apparent.
On définit le poids apparent comme la différence :

Un objet de poids apparent

• positif : coule,
• négatif : remonte (et flottera),
• nul : se maintient entre deux eaux.

Tout l'art du lestage consiste à avoir un poids apparent nul.

D'où le principe de flottabilité, qui veut que :

• si un corps déplace un volume d'eau pesant plus que son propre poids, il flotte (flottabilité positive),
• s'il déplace un volume d'eau pesant moins que son poids propre, il coule (flottabilité négative),
• si ce corps déplace une quantité d'eau dont le poids est égal au sien propre, il ne flotte ni ne coule, mais demeure en suspension au sein du liquide (flottabilité nulle).

Le facteur qui détermine la flottabilité est la densité.
Donc, quand la densité augmente, la masse et le poids augmentent aussi et il ce produit une "force flottable" plus élevée, ce qui explique que l'on flotte mieux dans l'eau de mer (d=1,028 à 20°C, pour 35g/l de minéralisation) que dans l'eau "douce" (d ±1,000).
Si le corps est homogène son centre de gravité est confondu avec le centre de poussée. S'il n'est pas homogène le corps se positionne de telle façon que le centre de poussée soit sur la même verticale que son centre de gravité, et au-dessus pour que l'on ait un équilibre stable.

Exemples (Poussée d'Archimède) :
Exemple 1 - Corps immergés.
Sachant que le volume d'un corps humain adulte quelconque est d'environ 0,080 m³ (80 dm3 ou litres), qu'elle est l'estimation de la force qu'il subit de bas en haut (poussée d'Archimède), s'il est complètement immergé sous la surface de l'océan atlantique, par exemple, ou dans l'eau d'une rivière, à 15°C (M_v de l'eau océanique : 1028 kg.m^-3 et M_v rivière : 999,2 kg.m^-3) :
(on prend g = 9,81 m.s²)

Poussée = Poids du volume d'eau déplacée [V_d] (volume de la partie immergée), donc :
Poids du volume d'eau océanique déplacé (M_veau .V_d. g) : Poussée = (1028 x 0,080 x 9,81) = 806,77 N,
ou (806,77 x 0,10197) = 82,27 kgf

Poids du volume d'eau de rivière déplacé (M_veau .V_d. g) : Poussée = (999,2 x 0,080 x 9,81) = 784,17 N,
ou (784,17 x 0,10197) = 79,96 kgf

Nota : si le corps pèse 81 kg par exemple, on constate que, sans bouger : il flottera sans problème dans l'océan, mais risque de couler en rivière (CQFD) !

Un plongeur équipé d'une combinaison se mettrait à couler vers -12 m (env.1,2 bar) de profondeur dans l'océan, car à cause de la compression croissante (et particulièrement sur les bulles contenues dans le néoprène de sa combinaison), sa masse ne changera pas mais son volume global diminuera (sa "densité" augmentera avec la profondeur jusqu'à atteindre et dépasser celle du milieu ambiant).

Remarque. Si l'on calcule la poussée dans l'air (sur tout le corps humain de 0,080 m3), avec M_vair = 1,220 kg.m^-3 et g = 9,807 N/kg:
Poids du volume d'air déplacée (M_vair .V_d. g) : Poussée = (1,22 x 0,080 x 9,807) = 0,957 N,
ou (0,957 x 0,10197) = 0,09758 kgf (ou 97,58 gf) !

Exemple 2 - Corps Flottants.
Un iceberg d'eau douce, dont le volume V est de 500 m³ flotte à la surface de l'océan (sur l'instant...),

1. Quel est le volume immergé dans l'océan sachant que la masse volumique de la glace M_v est de 920 kg.m^-3 , celle de l'eau océanique 1028 kg.m^-3 (avec g = 9,81 m.s²),
2. Idem dans une rivière à 10°C (M_v = 999,7 kg.m^-3) ?

Rappel : masse = volume x masse volumique, et poids (en newton) = masse x g,

Résultats :
Quand un solide flotte c'est que (poussée d'Archimède) :
poids du solide = poids du volume de la partie immergée (volume d'eau déplacée V_d), donc :
Poids de l'iceberg (en N) : (masse x g) = (M_vV).g, soit (920 x 500 x 9,81) = 4 512 600 N,

• 1 - Poids du volume d'eau océanique déplacé (M_veau .V_d.g) = (1028 x V_d x 9,81) :
  (1028 x V_d x 9,81) = 4 512 600 N (ou poussée), et donc V_d = 4512600 /(1028 x 9,81) = 447,47 m³
  ( poussée : env. 460 000 kgf ou 4 511 130 N [4 511 daN] ).
  
  Pourcentage du volume immergé = 447,47 / 500x100 = 89,5 % (donc, émergé : 10,5 %).
  
  
• 2- Poids du volume d'eau de rivière déplacé (M_veau .V_d.g) = (999,7 x V_d x 9,81), donc :

  (999,7 x V_d x 9,81) = 4 512 600 N, et V_d = 4512600 /(999,7 x 9,81) = 460,14 m³.
  Pourcentage de volume immergé dans la rivière = 460,14 /500x100 = 92 % (donc, émergé : 8 %).
  

Remarque : le poids des navires (et donc leur masse volumique) variant suivant qu'ils soient en charge ou sur lest, la poussée d'Archimède va également varier. Pour maintenir un certain niveau de flottaison (tirant d'eau ou hauteur de la partie immergée du bateau) constant et assurer une meilleure stabilité, les navires sont pourvus de ballasts qu'ils peuvent remplir ou vider suivant leur cargaison ou la salinité de l'eau dans laquelle ils naviguent (passage de l'océan dans une rivière par exemple).
Les sous-marins contrôlent également leur masse volumique en utilisant également des ballasts.

Applications de la P_A : la mesure de la masse volumique des liquides avec un hydromètre (ou densimètre), le ludion (voir ce lien externe).

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Théorème de Pascal.
Toute variation de pression en un point d'un liquide entraîne la même variation en tous ses points.
(ce théorème est valable pour les gaz). Le principe de fonctionnement d'une presse hydraulique repose sur ce théorème.
Soient par exemple, deux cylindres de sections différentes S et S' formant des vases communicants :

 

Exerçons sur le petit piston P une force F perpendiculaire à sa surface, cela crée une surpression qui vaut : Dp = F / S
En vertu du théorème de Pascal, sur P' on a doncla même variation de pression ce qui produit une force F', et on peut donc écrire : Dp = F / S = F' / S'.


On voit donc que si S' > S on a F' > F , mais le déplacement de P' est plus petit que celui de P > si on enfonce P de h, P' ne monte que de h' :

Rappelons l' unité de force (SI) : le newton [N], en m . kg . s^-2 (1 N = 0,101971 kgf (kilogramme-force).

Presse hydraulique.

Presse à montants de 150 tonnes (estampage de matériaux en petite profondeur)
Course du vérin : 400 mm, passage entre montants :1120x920 mm, admission maximum : 600 mm,
Vitesse d’approche : 28 mm/sec, vitesse de travail : 8 mm/s, force du presse-tôle : 50 tonnes.
(crédit image-lien web : REMO)

Exemple numérique : sachant que le rapport des forces est de 1 pour 30, si le grand piston de surface S' se déplace de 1 cm (h'), de combien (h) se déplace le petit piston (surface S) ?

Réponse :
Selon le théorème de Pascal : toute variation de pression en un point d'un liquide entraîne la même variation en tous ses points.
Les deux volumes déplacés dans les deux récipients sont égaux :

Si le rapport des forces F/F' = 100 > S/S' = h/h' =30, donc h = 30 h'

et comme h' = 1 cm, h = 30 cm.

-

Appliquons la loi de la statique des fluides aux points M et N :

• pour M, on a : pM = p₀, car en ce point de surface, il y a seulement la pression atmosphérique P₀
• pour N > pN = M_vgh + 0, car au-dessus de la colonne de liquide il y a le vide.

Dans le tube, la pression atmosphérique P₀ est équilibrée et égale à la pression hydrostatique M_vhg.
Le mercure a une masse volumique M_v de = 13 599,63 kg.m^-3 , et la pression atmosphérique est équilibrée par une colonne de hauteur H (par exemple, = 760 mm ), et g = 9,81 m.s².
La valeur de cette pression vaut donc (unités SI) : P₀ = (13 599,63 x 0,760x 9,81) = 101 393,4 Pa,
ou 1013,934 hPa (ou 1013,9 mb).

Nota : si le liquide était de l'eau "douce" à 10°C (M_v = 999,7 kg.m^-3), pour obtenir l'équilibre la hauteur H devrait être de : 101 393,4 / (999,7 x 9,81) = 10,33 m.
Également,

• avec de l'eau de mer à 35 g/l de minéralisation (M_v=1028 kg.m^-3 à 20°C) > H = 10,05 m,
• avec de l'alcool éthylique à 95 % (M_v=790 kg.m^-3 à 20°C) > H = 13,08 m,
• du gaz carbonique pur (M_v=1,87 kg.m^-3 à 15 °C et 1 atm) > H = 5 527 m !

A noter que si nous faisons le calcul avec de l'air (M_v moyen = 1,217 kg.m^-3 au sol), nous trouvons une hauteur de 8 493 mètres (environ 8,5 km), mais évidemment en supposant donc une Mv constante sur toute la hauteur !
(ce qui n'est pas exact, car la densité de l'air diminue en fonction de l'altitude).

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ÉQUILIBRE DE DEUX LIQUIDES NON MISCIBLES.
Deux liquides sont dans des vases communicants (tube en U ci-dessous):

Les deux surfaces libres ne sont pas dans le même plan horizontal.

D'après le principe fondamental on a : hM_vg = h'M_v'g, et > hM_v = h'M_v'

Exemple :
Un tube en U cylindrique de section S = 2 cm² , contient du mercure (brun),
M_v = 13 599.63 kg.m^-3
Dans la branche A, on verse 60 ml (cm³) d'eau "douce" (M_v = 999.7 kg.m^-3, à 10°C)

a) On calculera la différence des niveaux des surfaces libres dans les deux branches ?

b) On veut ramener les niveaux M1 et N1 du mercure dans les deux branches dans un même plan horizontal en versant dans la branche B :.

• 1) soit, de l'eau de mer (M_v = 1028 kg.m^-3),
• 2) soit, de l'alcool à 95% ( M_v= 790 kg.m^-3 ).

On calculera les volumes d'eau de mer et d'alcool nécessaire pour obtenir ce résultat ?

Résultats :
D'après le principe général on a hM_v = h'M_v', donc, h' = hM_v / M_v'
a) Soit h = (60 /2) = 30 cm (la hauteur d'eau) et, h' (hauteur du mercure) = ((30 x 999,7) / 13 599.63) = 2,2 cm
La différence de niveau (h-h') est donc de = (60-2,2) = 57,8 cm.

b)
Les points M1 et N1 seront donc au même niveau : au dessus de M1, il y aura une hauteur h d'eau "douce" de 30 cm, et au-dessus de N1 une hauteur h" d'eau de mer ou d'alcool. On aura :

1) h'' (hauteur d'eau de mer) : ((30 x 999,7) / 1028) = 29,17 cm
Volume d'eau de mer à rajouter : 29,17 x 2 = 58,34 ml.

2) h'' (hauteur d'alcool) : ((30 x 999,7) / 790) = 37,96 cm
Volume d'alcool à rajouter : 37,96 x 2 = 75,92 ml.

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RÉSULTANTE DES FORCES DE PRESSION SUR UNE PAROI PLANE.
Si la paroi est le fond horizontal du récipient, la pression est uniforme et la résultante F de toutes les forces sera égale à :

S étant la surface du fond et h la hauteur de liquide.
Le point d'application de cette force sera le centre de gravité de la surface S.
En fait, la résultante des forces qui s'exercent sur une paroi est égale au produit de la pression effective au centre de gravité de cette paroi, par la surface de cette paroi.
Si maintenant c'est une paroi latérale, on aura encore, si cette paroi est rectangulaire et de longueur L :

Le point d'application de cette résultante s'appelle le centre de poussée, ce n'est pas le centre de gravité G; la cote de ce centre de poussée se trouve à : d = 2/3 H
H et d étant la hauteur d'eau et la profondeur où se trouve le centre de poussée. Les deux résultats donnant l'intensité de F et son point d'application sont valables même si la paroi est inclinée,

Exemple - un barrage:

Données :

• Longueur L : 207 m, Hauteur H : 50 m,
• eau douce (M_v = 1000 kg.m^-3, à 4°C),
• g = 9,81 m.s²

Quelle est la force totale de poussée de l'eau sur la paroi , et la cote de son centre de poussée ? :
Force F = M_vgL(H²/2) : (1000x9,81x207x[50²/2]) > F = 2,54.10⁹ N ou 2540 MPa (25400 bar).
Cote du centre de poussée d : (2/3)50 > 33 m....

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Fin du chapitre Hydrostatique

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